1. Limit Nedir?

Limit, bir fonksiyonun x belirli bir değere yaklaşırken, fonksiyonun hangi değere yaklaştığını ifade eder.

x o değere eşit olmak zorunda değildir, sadece yaklaşır.

Gösterim

lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = Lx→alim​f(x)=L

Bu ifade:

“x, a’ya yaklaşırken f(x), L’ye yaklaşır”
anlamına gelir.

---

2. Sağdan ve Soldan Limit

Bir noktadaki limitin var olması için:

• Sağdan limit

lim⁡x→a+f(x)\lim_{x \to a^+} f(x)x→a+lim​f(x)

• Soldan limit

lim⁡x→a−f(x)\lim_{x \to a^-} f(x)x→a−lim​f(x)

Sağdan Yaklaşma: a’dan büyük değerlerle yaklaşmaya denir. x a üzeri + biçiminde gösterilir. Soldan Yaklaşma: a’dan küçük değerlerleyaklaşmaya denir.x a üzeri – biçiminde gösterilir.

Not: Bir fonksiyonun limitinin var olması için, sağ limitve sol limit değerleri birbirine eşit olmalıdır.

• Bir noktada tanımsız olan fonksiyonun o noktada limiti olabilir.
• Fonksiyon grafiğinde kopma söz konusu ise o noktada limit yoktur!

Kural

lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x)\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)x→a−lim​f(x)=x→a+lim​f(x)

olmalıdır.

Eğer eşit değilse:
Limit yoktur.

---

3. Limit Hesaplama Yöntemleri

1) Doğrudan yerine koyma

lim⁡x→2(x2+3x)=22+3⋅2=10\lim_{x \to 2} (x^2 + 3x) = 2^2 + 3·2 = 10x→2lim​(x2+3x)=22+3⋅2=10

---

2) Belirsizlik Durumu (0/0)

Eğer yerine koyunca 0/0 çıkıyorsa:

✔ sadeleştirme
✔ çarpanlara ayırma
✔ eşlenik ile çarpma

kullanılır.

Örnek:

lim⁡x→2x2−4x−2\lim_{x \to 2} \frac{x^2 – 4}{x – 2}x→2lim​x−2×2−4​

Çarpanlara ayır:(x−2)(x+2)x−2=x+2\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2x−2(x−2)(x+2)​=x+2 lim⁡x→2x+2=4\lim_{x \to 2} x+2 = 4x→2lim​x+2=4

---

4. Sonsuzda Limit

🔹 x → ∞ veya x → −∞

lim⁡x→∞3x2+1x2−5\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 1}{x^2 – 5}x→∞lim​x2−53×2+1​

En büyük dereceli terimler alınır:3x2x2=3\frac{3x^2}{x^2} = 3x23x2​=3

---

5. Limit Yoktur Durumları

Limit şu durumlarda yoktur:

• Sağdan ve soldan farklıysa
• Fonksiyon sonsuza gidiyorsa
• Sürekli zıplıyorsa

Parçalı Fonksiyonlarda Limit Nedir?

• Parçalı fonksiyonlarda limit incelenen nokta eğer kritik nokta ise bu noktada sağ ve sol limitlere bakılır.
• • Sağ limit ile sol limit eşitse kritik noktada limit var.
• • Sağ limit ile sol limit eşit değilse kritik noktada limit yok.
• • İncelenen nokta kritik nokta değilse sağ limiti ve sol limiti incelemeye gerek yoktur.

Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

• Mutlak değer fonksiyonları için limiti incelenen nokta, kritik nokta (mutlak değerin içini sıfır yapan değer) ise sağ limit ve sol limite bakılmalıdır.Sorulan nokta eğer kritik nokta değilse sağ ve sol limit incelemeye gerek yoktur.

---

Süreklilik Nedir?

Bir fonksiyonun x = a noktasında sürekli olması için 3 şart vardır:

✔ 1) f(a) tanımlı olmalı

✔ 2) Limiti olmalı

lim⁡x→af(x)\lim_{x \to a} f(x)x→alim​f(x)

✔ 3) Limit = fonksiyon değeri olmalı

lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a)x→alim​f(x)=f(a)

---

Sürekliliğin Grafik Yorumu

• Grafiği çizerken kalemi kaldırmadan çizebiliyorsan
  Fonksiyon süreklidir.
• Bir fonksiyonun x = a noktasında limitinin sürekli olması için o noktada tanımlı olması gerekmez.
• Polinom fonksiyonlar her x gerçek sayısı içinsüreklidir.

---

Süreksizlik Türleri

1) Giderilebilir süreksizlik

• Limit var
• f(a) ≠ limit veya f(a) tanımsız

2) Atlama süreksizliği

• Sağ ve sol limit farklı

3) Sonsuz süreksizlik

• Fonksiyon ±∞’ye gider

---

Örnek Süreklilik Sorusu

f(x)={x+2x≠15x=1f(x)= \begin{cases} x+2 & x \neq 1 \\ 5 & x = 1 \end{cases}f(x)={x+25​x=1x=1​ lim⁡x→1f(x)=3\lim_{x \to 1} f(x) = 3x→1lim​f(x)=3

Ama:f(1)=5f(1) = 5f(1)=5

Sürekli değildir.

---

Kısaca;

• Limit = yaklaşma
• Süreklilik = limit + tanımlılık + eşitlik
• Her sürekli fonksiyon limitlidir
• Her limitli fonksiyon sürekli değildir

Limitin Tarihçesi | Limiti Kim Buldu?

Limit Kavramının Tarihçesi

1. İlk fikirler – Antik Yunan (MÖ 4. yy)

Eudoxus (MÖ 408–355)

• Limit fikrinin en eski temellerini atan kişi kabul edilir.
• “Tükenme yöntemi”ni geliştirdi.
• Amaç:
  Bir alanı veya hacmi, giderek küçülen parçalarla yaklaşık hesaplamak.

Bu yöntem, limit düşüncesinin atasıdır ama “limit” kelimesi yoktur.

---

Arşimet (MÖ 287–212)

• Eudoxus’un yöntemini geliştirdi.
• Daire alanı, küre hacmi gibi değerleri
  sonsuz yaklaşım mantığıyla hesapladı.

Arşimet, limiti fiilen kullandı ama tanımlamadı.

---

2. Orta Çağ – Yavaş ilerleme

• Matematik daha çok cebir ve geometriye odaklandı.
• Limit fikri açık şekilde ele alınmadı.
• Ancak “yaklaşma” düşüncesi tamamen kaybolmadı.

---

3. Modern matematiğe geçiş – 17. yüzyıl

Isaac Newton (1643–1727)

• Türev ve integrali geliştirdi.
• “Fluxion” kavramını kullandı (değişim hızı).
• Limit fikrini sezgisel olarak kullandı.

Ama:

• Tanımlar net değildi
• “Yaklaşıyor ama eşit değil” fikri tam açıklanmadı

---

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716)

• Newton’la aynı dönemde kalkülüsü geliştirdi.
• dx, dy notasyonlarını kullandı.
• Limit fikrini sembolik olarak kullandı.

Ancak hâlâ katı (rigor) bir tanım yoktu.

---

4. Limitin gerçek anlamda tanımlanması – 19. yüzyıl

Augustin-Louis Cauchy (1789–1857)

Modern limit kavramının kurucusu kabul edilir.

• Limiti açıkça tanımladı: “x bir değere yaklaşırken, f(x)’in yaklaşması”
• Süreklilik, türev ve integralin temelini
  limit üzerinden kurdu.

Bugün okulda öğrendiğimiz limit fikrinin ilk ciddi tanımı Cauchy’ye aittir.

---

5. En kesin hâl – ε–δ (epsilon–delta) tanımı

Karl Weierstrass (1815–1897)

• Limiti tamamen matematiksel ve hatasız hâle getirdi.
• “Yaklaşma”yı sezgiden çıkarıp kesin kurala bağladı.

Bugünkü resmi tanım:

Her ε > 0 için,
|x − a| < δ olduğunda
|f(x) − L| < ε

Bu tanım, modern matematiğin temelidir.

---

Kısa Özet (Kim ne yaptı?)

• Eudoxus → İlk yaklaşma fikri
• Arşimet → Pratik kullanım
• Newton & Leibniz → Kalkülüs, sezgisel limit
• Cauchy → İlk modern limit tanımı
• Weierstrass → Kesin ve tam matematiksel tanım

---

SONUÇ:

• Limit tek bir kişi tarafından bulunmadı.
• Cauchy modern anlamda tanımladı.
• Weierstrass bugünkü kesin hâline getirdi.